形如 $f'(\xi)+f(\xi)g(\xi)=0$

解题模板：构造辅助函数

$$F(x)=f(x)e^{\int g(x)\mathrm{d}x}$$

对 $F(x)$ 使用罗尔定理，得到 $F'(\xi)=0$. 化简得到原式.

几乎是一个万能构造法，但是注意：

①积分不需要加常数 $C$，因为我们只要找到一个辅助函数就行了。

② $F'(\xi)=0$ 不一定恰好就是想要证明的结论，有时候需要做一下变形，但是需要注意两边同除要观察是否是 0！

推导过程

$$\begin{aligned}F'(x)&=f'(x)e^{\int g(x)\mathrm{d}x}+f(x)e^{\int g(x)\mathrm{d}x}g(x) \\&=e^{\int g(x)\mathrm{d}x}(f'(x)+f(x)g(x))\end{aligned}$$

例 1：$f(a)=f(b)=0$, 证明：$\exists \xi\in(a,b),s.t.2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.

【思路】为了能够套到上面的模板，我们需要 $\frac{2f(\xi)}{\xi}+f'(\xi)=0$

这个时候我们发现：$g(\xi)=\frac{2}{\xi}$. 然后，我们套公式：$F(x)=f(x)e^{2\ln x}=e^{2}f(x)$. 成功构造函数。

【解】令 $F(x)=f(x)e^{2\ln x}=e^{2}f(x)$. 且 $F(a)=F(b)=0$.

$\exists \xi \in(a,b), F'(\xi)=2\xi f(\xi)+\xi^{2}f'(\xi)=0$.

例 2：$f(a)=f(b)=0$, 证明：$\exists \xi\in(a,b),s.t.f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.

用这道题目回顾一下.

例 3：$a>0,f(a)=0$, 证明：$\exists \xi\in(a,b),s.t.f(\xi)= \frac{b-\xi}{a}f'(\xi).$

$f'(\xi)+ \frac{a}{\xi-b}f(\xi)=0$. 此时 $g(\xi)= \frac{a}{\xi}-b$.

构造函数 $F(x)=f(x)e^{\int a/(x-b)} \mathrm{d}x=f(x)e^{a\ln (x-b)}=f(x)(x-b)^{a}$. 我们发现 $F(a)=F(b)=0$，然后罗尔定理.

问题 ：如果需要证明: $f''(\xi)+f'(\xi)=0$. 如何构造？

提示：$f''(\xi)$ 可以看作是 $f'(\xi)$ 的一阶导，构造函数 $F(x)=f'(x)e^{x}$. 同样的，你还可以看辅助函数 $F(x)=f'(x)+f(x)$.

所以，函数可以构造不同的辅助函数与之对应。

例题 4：（1）$f(a)=f(b)=0$, 证明 $\exists \xi\in(a,b),s.t.f'(\xi)+f^{2}(\xi)=0$.

【解】 $g(\xi)=f(\xi)$. 构造 $F(x)=f(x)e^{\int f(x)\mathrm{d}x}$，我们发现使用公式法的时候，指数上是抽象函数，所以我们需要写为变上限积分，这样才能代值.

令 $F(x)=f(x)e^{\int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t}$.$F(a)=F(b)=0$

然后，我们通过求导，代入 $\xi$.

(2) $f(0)=1,f(1)=\frac{1}{2}$. 证明 $\exists \xi\in(a,b),s.t.f'(\xi)+f^{2}(\xi)=0$.

提示：构造函数 $F(x)=\frac{f'(x)}{f^{2}(x)}+1$

例 5：$2f(0)=\int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x=f(2)+f(3)$. 证明：$\exists \xi\in (0,3),f''(\xi)-2f'(\xi)=0$.

令 $F(x)=f'(x)e^{-2x}$, 要找到 $F(x)$ 的 2 个零点，就要找到 $f'(x)$ 的 2 个零点，需要找到原函数的 3 个零点.

然后，我们分别算算，$\int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x=2(f(x_{1}))$.

后面的一个等号，我们可以用[[数学笔记#介值定理]], 得到 $f(2)+f(3)=2f(\xi)$, ($\xi \in(2,3)$)

注

整体思想非常重要，转化为模板，套公式。 如 $f'(\xi)+a[f(\xi)-\xi]=1$ 时, 可以将 $f(\xi)-\xi$ 视为整体 如 $f^{(n)}(\xi)+f^{(n-1)}(\xi)g(\xi)=0$, 可以将 $f^{(n-1)}$ 视为整体