1.若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续且 $f(a^{+0}),f(b^{-0})$ 存在，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 有界. 注意：反过来不成立.

2. 反证法： 提出和结论相反的假设，推理出原命题相悖或者违背了某个公理。 证明：$\sqrt{ 2 }$ 为无理数，可以假设他是有理数，然后发现错误的地方。

3. $\lim_{ n \to 0 }n=0$, 此时 $n\equiv 0$ 也算是. 即这个变化过程可以为它自己.

4. 等价无穷小代换条件（只能换乘除因子，加减不可以） 例：$\lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+2x)+xf(x)}{x^{2}}=1$, 则 $\lim_{ x \to 0 } \frac{2+f(x)}{x}$.

本题无法验证分子等价两个相加的是不是 0，我们就不能使用这方法！

本题：凑变形

$$\begin{align} 1&=\lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+2x)-2x}{x^{2}}+\lim_{ x \to 0 } \frac{2x+xf(x)}{x^{2}}\\&=\lim_{ x \to 0 } \frac{\left( \frac{2}{2x+1}-2 \right)}{2x}+A \end{align}$$

左边的部分继续洛必达, 得到-2，A=3 5. 导数概念分析

$$f(x)= \begin{cases} \frac{2}{3}x^{3},x\leq 1 \\ x^{2},x>1 \end{cases}$$

那么 $f(x)$ 在 $x=1$ 左右导数是否存在

（直接使用导数求导法则的时候，我们要看是否有间断点）

6. $f(x)=(x^{2}-x-2)|x^{3}-x|$ 不可导点的个数. 对于这种题目我们需要研究绝对值里面的内容。

7. 对于出现变限积分，我们一般考虑洛必达法则，对他求导。

求导方法：下限为常数，上线为函数：$y=\int_{a}^{f(x)} g(t) \, \mathrm{d}t$.

把 $t$ 用 $f(x)$ 代替: $y'=g(f(x))\mathrm{d}(f(x))$.

8. $x\to 0,\int_{0}^{\sin x} \sin t^{2} \, \mathrm{d}t \text{等价于}\int_{0}^{\sin x} t^{2} \, \mathrm{d}t$.

9. 只有当分母 B 的极限 不为零 时，A/B 的极限才一定存在，并且等于极限的商。如果分母的极限为零，则需要进一步分析分子极限的情况，或者使用其他方法来确定 A/B 的极限是否存在。

10. 可导 $\implies$ 连续函数， $x\to a$ 时， $f(x)=f(a)$. $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$, 那么 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 可导的_____ 条件. 【提示】对于这种问题，优先还是举反例。比如：$f(x)=\sqrt{ x }$.

11. 定积分计算，如果是上下限相反数的，可以先看看能不能拆成奇函数和其他函数的和，这样奇函数的积分就是 0 了，化过来可能会简单一些

12. 积分的上下限才是自变量，而不是右边的表达式，比如说 $\int_{0}^{x} e^{t^{3}} \, \mathrm{d}t$ 求导后是 $e^{x^{3}}$. ^b3effc

13. 如何判断一个函数在区间内是否可导，比如 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$

    • 不连续的点
    • 角点（如果在某一点处有突然的变化）
    • 垂直切线（该点的导数为 $\infty$）
    • 开区间定义域的端点 按照例子：$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{ x }}$. 在 $x=0$ 处有垂直切线，此处不存在导数.

14. 利用积分的线性性，我们可以把函数分为奇函数和偶函数的两个部分，任何函数都可以拆成奇函数+偶函数。这样解决上下限相反数的可能更好处理一点。 例如： $\int_{-2}^{2} x^{2}+x+x^{3} \, \mathrm{d}x$.

15. $f(g(x))$ 中 $g(x)$ 关于 $x=2$ 对称，那么 $f(g(x))$ 关于 $x=2$ 对称。 $\int f(g(x))$ 会关于 $(2,0)$ 对称。

16. 曲率半径 $\rho = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$

17. $x_{0}$ 处取到 $f(x)$ 的极值点，此时 $f'(x_{0})=0$? 有两种情况会导致在极值点处 $f'(x_{0}) \neq 0$ 或 $f'(x_{0})$ 不存在：

1. 导数不存在的情况：

• 尖点 (cusp) 或角点 (corner): 如果函数在极值点处有尖点或角点，那么在该点的导数不存在。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处取得极小值，但 $f'(0)$ 不存在。它的左导数为 -1，右导数为 1。

• 垂直切线： 如果函数在极值点处有垂直切线，那么该点的导数趋于无穷大，因此也不存在。例如，函数 $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ 在 $x=0$ 处取得极小值，但 $f'(0)$ 不存在（趋于无穷大）。

2. 边界点的情况：

• 区间端点： 如果极值点 $x_{0}$ 是函数定义域的边界点，那么即使函数在该点可导，也不能保证 $f'(x_{0})=0$。因为在边界点，我们只考虑单侧的行为，导数的定义涉及左右极限相等。例如，考虑定义在闭区间 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$。如果最大值在 $x=a$ 处取得，即使 $f'(a)$ 存在，也无需为 0。

18. $\int_{0}^{x}f(x-t) \, \mathrm{d}t$ 如何求导？

方法：使用变量替换

设 $I(x) = \int_{0}^{x}f(x-t) \, \mathrm{d}t$。 我们进行变量替换，令 $u = x-t$。 那么，$\frac{du}{dt} = -1$，即 $\mathrm{d}t = -\mathrm{d}u$。

同时，我们需要改变积分的上下限。 当 $t=0$ 时， $u = x-0 = x$。 当 $t=x$ 时， $u = x-x = 0$。

将这些代入原积分式中：

$$I(x) = \int_{x}^{0} f(u) (-\mathrm{d}u)$$

$$I(x) = - \int_{x}^{0} f(u) \, \mathrm{d}u$$

根据定积分的性质，我们可以交换积分上下限并改变符号：

$$I(x) = \int_{0}^{x} f(u) \, \mathrm{d}u$$

现在，我们需要对 $I(x)$ 关于 $x$ 求导。根据微积分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, \mathrm{d}t$，那么 $F'(x) = g(x)$。在本例中，$g(u) = f(u)$。 因此，

$$\frac{dI}{dx} = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} f(u) \, \mathrm{d}u = f(x)$$

19. $\int_{0}^{\pi/2} \sin2t \, \mathrm{d}(2t)$ 用换元法和不用换元法做一下

20. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 可导，$f'(x)\neq1$, 是否说明：$f'(x)$ 一定要么 $>1$, 要么 $<1$.

21. $f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{ 1-x^{2} }}, \frac{\mathrm{d}f(\sqrt{ 1-x^{2} })}{\mathrm{d}x}$ =_______.

22. 定积分如何按照定义域分开区间

23. 反函数的概念

24. $A,B\to \infty$, 如果 $A$ 的速度比 $B$ 快，那么 $\frac{1}{A}$ 趋向于 0 的速度就比 $\frac{1}{B}$ 快.

25. ![[Pasted image 20250107233239.png]]

26. 计算 $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}n.$

27. 如何区分数列求和定积分定义和夹逼准则？

比如：$\lim_{ n \to \infty } \sum ^{n}_{i=1} \frac{1}{\sqrt{ n^{2}+i }}$.

1. 我们把连加的形式写为求和形式，提出 $\frac{1}{n}$.
2. 剩余部分能不能写为 $\frac{k}{n}$ 的形式？
3. 如果不能使用夹逼准则

我们尝试提出来：$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{ 1+\frac{i}{n^{2}} }}$. 这题尝试发现无法化过去，所以还是用夹逼定理吧。

如果式子中出现 $\sin x$. $\cos x$, $\ln x$. $e^{x}$ 考虑使用定积分

28. $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，$\lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在，那么 $f'(0)$ 存在，判断正误。

29. 极值点不一定需要可导和连续，只要求在这个点上有定义即可。 所以：极值点不一定是驻点，驻点也不一定是极值点。 如果可导的极值点就一定是驻点.

30. $\int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x=\int_{0}^{a} f(x)+f(-x) \, \mathrm{d}x$

31. $\int \frac{x^{2}+2x\sin x}{1+\cos x}\mathrm{d}x$

细节

1. $\lim_{ x \to 0 }(1+x)^{1/x}$ 注意：1 后面只能是无穷小，指数上只能是无穷大! 千万不要认为 $\lim_{ x \to 0 }\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x}=e$! 他们的极限不存在！

2. $f(x)$ 可导，但是导函数不一定连续 因为可导只能说导函数是存在的，但不能说明连续

3. 反函数只是说明规则是反的，这是大学和高中的区别 反函数概念

数列求极限

1. 做差
2. 做商
3. 把数列看成函数，判断导数
4. 数学归纳法 如果要证明 ${x_{n}}$ 单调增，就要证明：$x_{n+1}-x_{n}\geq0$.

1.验证 $x_{2}-x_{1}\geq0$.

2.假设 $x_{k+1}-x_{k}\geq0$.

3.根据 $n=k$ 成立，推到 $n=k+1$ 也成立. 即验证2.成立即可.

参考: [[题目摘选2#^1d92df|数学归纳法]].

5. 中值定理

证明有界 ：

1. 基本不等式

   1. $0< \frac{a}{a+b}<1$
   2. $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$, 特别的 $a+\frac{1}{a}\geq{2}$.
   3. $||x|-|y||\leq|x\pm y|\leq|x|+|y|$.
   4. $x\in\left( 0, \frac{\pi}{2} \right),0<\sin x<x<\tan x$
   5. $x\geq0, \frac{x}{1+x}\leq 1+x\leq x$.
   6. $\forall e^{x}\geq1+x$.
   7. $f(x)\leq g(x),a\leq b,\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x\leq \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d}x$

2. 数学归纳法

例题

1. $$$$

\lim_{ n \to \infty } \left[ n\tan\left( \sin \frac{1}{n} \right) \right]^{n{2}}

$$方法：转化为函数极限 注意：泰勒展开的使用 2.$$

\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n^{2}+n+i}.

我们先考虑夹逼定理，然后在考虑定积分的定义. 我们抓大头：$n^{2}$, 放掉 $n$. 分母最好是一样的，分子一样不一样都无所谓. 答案：$\frac{1}{2}$ 3. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调减非负。$x_{n}=\sum_{k=1}^nf(k)-\int_{1}^{n} f(x) \, \mathrm{d}x,(n=1,2,3,\dots)$ .证明极限存在. 【提示】 $x_{n}-x_{n-1}$，如果是 $>0$, 那么就是单调增，证明 $x_{n}$ 有上界，反之同理 4. $x_{1}>-6,x_{n+1}=\sqrt{ 6+x_{n} }$, $\{x_{n}\}$ 极限存在并求出极限. 【提示】这道题目我们看得出极限可能是 3，但是单调性怎么办？ 我们看看后一项减前一项，发现单调性一致. 那么有了这个我们看 $x_{2}-x_{1}$. $x_{2}-x_1=\sqrt{ 6-x_{1} }-x_{1}$ 分类讨论： 1. $x_{1}\leq0$, 一定 $>0$. 2. $x_{2}-x_{1}=\frac{(3-x_{1})(x_{1}+2)}{\sqrt{ 6+x_{1} }+x_{1}}$. $0<x_{1}<3$, 发现单调递增。可以证明有上界. $x_{1}>3$, 发现单调递减. 可以证明有下解 3. ### 定积分定义

\lim_{ n \to \infty } \sum ^{n}{k=1} \frac{1}{n}f\left( \frac{k}{n} \right)=\int^{1} f(x) , \mathrm{d}x

其中：1. $\frac{1}{n}$ 写为 $\mathrm{d}x$. 2. $f\left( \frac{k}{n} \right)$ 写为 $f(x)$ 3. $\frac{k}{n}$ 的值域为积分的上下限 例题：

\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{1}{\sqrt{ n^{2}+4 }}+\frac{1}{\sqrt{ n^{2}+16 }}+\dots+\frac{1}{\sqrt{ n^{2}+4n }} \right)

首先写成求和形式：$\sum ^{n}_{k=1} \frac{1}{\sqrt{ n^{2}+4k^{2} }}$. 提出 $\frac{1}{n}$: $\frac{1}{n}\sum ^{n}_{k=1} \frac{1}{\sqrt{ 1+4\left( \frac{k}{n} \right)^{2} }}$. 这个时候进行定积分定义替换：$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{ 1+4x^{2} }} \, \mathrm{d}x$ 然后进行积分计算： ## 学习规划 1. 双中值定理 [ ] 2. 数列极限 3. 反常积分 4. 系统课程复习 5. 回顾题目摘选 $y=(x^{3}+x^{2}+x+1)^{3}+e^{3x}$ 求 y 的 10 次导，取对能做吗 不可以！