通常为 $a,b,\xi,f(\xi),f'(\xi)$, 变形为 $f(b)-f(a)$ 或者是拉格朗日柯西的形式.

或者还原出函数用过中值定理的函数

步骤：

1. 把 $a,b$ 常数项和 $\xi$ 的项分离在两端
2. 能否变形为 $f(b)-f(a)$ 的形式.
3. 如果可以，使用拉格朗日或柯西

例 1：$a,b>0$, 证明：$\exists \xi\in(a,b),s.t.ae^{b}-be^{a}=(1-\xi)e^{\xi}(a-b).$

先移向：$\frac{ae^{b}-be^{a}}{a-b}$. 我们发现左边字母 $a,b$ 杂糅在一起，无法直接使用拉格朗日。 所以我们需要稍微处理一下，同除 $ab$ 我们就能让结果干净一些。

$$\frac{\left( \frac{e^{b}}{b}-\frac{e^{a}}{a} \right)}{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}$$

到这里，可以使用柯西中值了，$f(x)=\frac{e^{x}}{x}$, $g(x)=\frac{1}{x}$.

$\frac{f(b)-f(a)}{g(a)-g(b)}$ 柯西后等于 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$.

$g'(\xi)=-\frac{1}{\xi^{2}}$, $f'(\xi)=\frac{e^{\xi}\xi-e^{\xi}}{\xi^{2}}$. 通过约分得到结果：$e^{\xi}(1-\xi)$.

1.1 $\exists \xi\in(1,2),s.t.\xi f'(\xi)-f(\xi)=f(2)-2f(1)$.

等号右边有可能是拉格朗日或柯西的结果.

这个能看成 $1 f(2)-2f(1)$ 再除以 $1$.

然后根据上一道题目的思路：$\frac{\left( \frac{f(2)}{2}-\frac{f(1)}{1} \right)}{\frac{1}{2}}$, 分母在构造想想看。$-\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{1} \right)$.

令 $f(x)=\frac{f(x)}{x}$, $g(x)=\frac{1}{x}$. 原式变成了：$- \frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)}.$

使用柯西定理：$- \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$ 这题解法并不好，因为只有这一种凑法，看看思路过程即可.

例 2：$\exists \xi\in(1,2),s.t.f(2)-f(1)=\frac{1}{2}\xi^{2}f'(\xi)$.

我们看看右边 $\xi^{2}f'(\xi)=\frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi^{2}}}$. 分子是 $f(x)$，分母是 $-\frac{1}{x}$.

我们可以还原到柯西之前的结果：$\frac{f(2)-f(1)}{-\left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{1} \right]}$ 原式化一下，就是我们想要证明的结论了。