![[5a82f4de9996d26f4636c3709777576a.png]]

函数渐近线

定义

• 当函数自变量趋于某一值或无穷时，函数值无限接近于一条直线的趋势

分类

• 水平渐近线

  • 定义：当 $x \to \infty$ 时，$f(x)$ 无限接近于常数
  • 求法：
    • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$，则 $y=b$ 是右侧水平渐近线
    • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = a$，则 $y=a$ 是左侧水平渐近线
  • 注意：
    • 左右两侧水平渐近线可能不同
    • 一个函数最多有两条水平渐近线

• 垂直渐近线

  • 定义：当 $x$ 趋向于某一点 $x_0$ 时，$f(x)$ 趋向于无穷
  • 求法：
    • 寻找使分母为零的点，或无定义的点 $x_0$
    • 验证：若 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty$ 或 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty$ 成立，则 $x=x_0$ 是垂直渐近线
  • 注意：
    • 垂直渐近线可能有无数条
    • 通常出现在分式函数、对数函数等

• 斜渐近线

  • 定义：当 $x \to \infty$ 时，$f(x)$ 无限接近于一条斜线
  • 求法：
    • 若 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$ 且 $\lim_{x \to \infty} [f(x) - kx] = b$，且 $k \neq 0$
    • 则 $y = kx + b$ 是斜渐近线
  • 注意：
    • 若存在水平渐近线，则必不存在斜渐近线
    • 一个函数最多有两条斜渐近线（$x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$）

总结

• 渐近线反映了函数在特定趋势下的极限行为
• 水平渐近线：$x \to \infty$ 时，$f(x) \to$ 常数
• 垂直渐近线：$x \to x_0$ 时，$f(x) \to \infty$
• 斜渐近线：$x \to \infty$ 时，$f(x)$ 趋向于一条斜线

示例

• $f(x) = \frac{1}{x}$
  • 水平渐近线：$y = 0$
  • 垂直渐近线：$x = 0$
• $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$
  • 斜渐近线：$y=x$
  • 垂直渐近线：$x=0$
• $f(x) = \arctan(x)$
  • 水平渐近线：$y = \frac{\pi}{2}$ （当 $x \to +\infty$）和 $y = -\frac{\pi}{2}$ （当 $x \to -\infty$）
• $f(x) = \ln(x)$
  • 垂直渐近线：$x=0$ (右侧)