定义

$$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{ d \to 0 } \sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta x_{k}$$

注

1. $d\to{0}$ 和 $n\to \infty$ 不等价：因为不断分 $n$ 我始终保留一部分是比较大的就不能保证 $d\to{0}$.
2. 划分方式任意，划分取得值任意.
3. $\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 只与 $f(x)$, $[a, b]$ 有关.

补充规定

$$\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x =-\int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x$$

$$a=b\text{时}，\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x=0$$

存在的充分条件

$[a,b]$ 上连续或有界且有有限个间断点 $\implies$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积.

积分上限函数和导数

定义

例题

1. $\phi(x)=\int_{0}^{x^{2}} e^{ -t^{2} } \, \mathrm{d}t$, 求 $\phi'(x)$.

本题中积分上限是 $x^{2}$, 而自变量是 $x$.

所以把它看作复合函数：$\phi(x)=\int_{0}^{u} e^{ -t^{2} } \, \mathrm{d}t$. $u=x^{2}$.

$\phi'_{x}(x)=\phi'_{u}u'_{x}$