Zongxi Blogs

外观

三角函数积分

约 3818 字大约 13 分钟

2025-10-30

解决的问题有

以 R(u,v)R(u,v) 表示由 u,vu,v 和常数通过有限四则运算的二元函数，我们解决 R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x,\cos x) 的三角有理函数。 如 11+cos⁡x\frac{1}{1+\cos x}, sin⁡xcos⁡2x\frac{\sin x}{\cos ^{2}x}, 1(sin⁡x+cos⁡x)2\frac{1}{(\sin x+\cos x)^{2}} 等问题

万能公式

所有三角有理函数都可以通过换元 t=tan⁡x2t=\tan \frac{x}{2} 进行万能代换转化为[[有理函数积分]]. x=2arctan⁡tx=2\arctan t, 所以 dx=21+t2dt\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^{2}}\mathrm{d}t. 同时，我们的 sin⁡x,cos⁡x\sin x,\cos x 都可以解决.

sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2=(2sin⁡x2cos⁡x2)sin⁡2x2+cos⁡2x2=2tt2+1\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}= \frac{\left( 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} \right)}{\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{2t}{t^{2}+1}

cos⁡x=cos⁡2x2−sin⁡2x2sin⁡2x2+cos⁡2x2=1−t21+t2\cos x =\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\sin ^{2} \frac{x}{2 } + \cos ^{2} \frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}

化一下，然后用 t=tan⁡x2t=\tan \frac{x}{2} 回代即可.

1.1 ∫13+5cos⁡x\int \frac{1}{3+5\cos x} 令 t=tan⁡x2t=\tan \frac{x}{2}. 此时：cos⁡x=1−t21+t2\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} dx=21+t2dt\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^{2}}\mathrm{d}t.

I=∫13+5(1−t2)1+t221+t2dtI=\int \frac{1}{3+\frac{5(1-t^{2})}{1+t^{2}}} \frac{2}{1+t^{2}}\mathrm{d}t

我们不难发现，右边的 1+t21+t^{2} 能够和左边的下面分式抵消了

I=∫23(1+t2)+5(1−t2)=∫14−t2dtI=\int \frac{2}{3(1+t^{2})+5(1-t^{2})}=\int \frac{1}{4-t^{2}}\mathrm{d}t

化简到这里，我们能够看到 1a2−x2\frac{1}{a^{2}-x^{2}} 的形式，[[数学笔记#^0e1ac9|积分表]]中查询得到

I=14ln⁡2−t2+tI=\frac{1}{4}\ln \frac{2-t}{2+t}

1.2 ∫11+sin⁡x+cos⁡x\int \frac{1}{1+\sin x+\cos x}

I=∫11+2t1+t2+1−t21+t221+t2=21+t2+2t+1−t2=11+tdt=ln⁡∣1+t∣+CI=\int \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}} \frac{2}{1+t^{2}}=\frac{2}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}=\frac{1}{1+t}\mathrm{d}t=\ln|1+t|+C

然后回代即可.

警告

三角函数积分如果被积分函数 sin⁡x,cos⁡x\sin x,\cos x次方太高，因为本身换元后次数就有了不少上升，所以不建议使用换元法在这个时候. 比如说三角函数中次方 ≥3\geq {3} 了就不建议使用.

技巧一：缩分母

适用范围

分母为 1+cos⁡x1+\cos x, 1−cos⁡x1-\cos x 的积分应该同时×共轭表达式. ::: quote 我们对于不定积分，宁愿分子有很多项，也不愿意分母有很多项，分子我们可以拆成很多项解决

::: 当然，我们也可以利用到[[数学笔记#二倍角公式]]来把分母项缩小.

题型

2.1 ∫11+cos⁡x\int \frac{1}{1+\cos x} 法一：×共轭表达式

I=1−cos⁡xsin⁡2x=∫csc⁡2x−cos⁡xsin⁡2x=−cot⁡x+csc⁡x+CI=\frac{1-\cos x}{\sin ^{2}x}=\int \csc ^{2}x-\frac{\cos x}{\sin ^{2}x}=-\cot x+\csc x+C

法二：二倍角 1+cos⁡x=2cos⁡2x21+\cos x=2 \cos ^{2} \frac{x}{2} ，自变量尽量统一 d(x2)\mathrm{d}\left( \frac{x}{2} \right) ，变为

I=2∫d(x2)2cos⁡2x2=tan⁡x2+CI=2\int \frac{\mathrm{d}\left( \frac{x}{2} \right)}{2\cos ^{2} \frac{x}{2}}=\tan \frac{x}{2}+C

法三：万能公式

2.2 ∫sin⁡x1+sin⁡xdx\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x 我们还可以利用 2.1 的结论，化归：∫(sin⁡x+1)−11+sin⁡x=1−11+sin⁡x\int \frac{(\sin x+1)-1}{1+\sin x}=1-\frac{1}{1+\sin x} 想到诱导公式：∫1−11+cos⁡(π2−x)=1−11+cos⁡(x−π2)=x−tan⁡((x−π2)2)+C\int 1-\frac{1}{1+\cos\left( \frac{\pi}{2}-x \right)}=1-\frac{1}{1+\cos\left( x-\frac{\pi}{2} \right)}=x-\tan \left( \frac{\left( x-\frac{\pi}{2} \right)}{2} \right)+C.

2.3 ∫1sin⁡x+cos⁡xdx\int \frac{1}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x 我们尝试刚刚那样：

∫cos⁡x−sin⁡xcos⁡2−sin⁡2x=∫cos⁡x−sin⁡xcos⁡2xdx\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos ^{2}-\sin ^{2}x}=\int \frac{\cos x-\sin x}{\cos 2x}\mathrm{d}x

我们发现很难做，绕弯了. (但也可以做，考虑接下来的做法) 本题我们可以用辅助角公式（本身就是用于合并三角函数的）sin⁡x+cos⁡x=2sin⁡(x+π4)\sin x+\cos x=\sqrt{ 2 }\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right). 这个时候算起来就简单很多 ^59494 e

法二：凑 d(sin⁡x)\mathrm{d}(\sin x)

使用范围

R(sin⁡x,−cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x) 的时候，我的理解：

题型

每一个 cos⁡x\cos x 前面加一个负号，看看是不是原来函数的相反数 3.1 ∫1sin⁡2xcos⁡xdx\int \frac{1}{\sin ^{2}x \cos x}\mathrm{d}x 解法：

原式=∫cos⁡xsin⁡2xcos⁡2x=d(sin⁡x)sin⁡2x(1−sin⁡2x)\text{原式}=\int \frac{\cos x}{\sin ^{2}x \cos ^{2}x}=\frac{\mathrm{d}(\sin x)}{\sin ^{2}x(1-\sin ^{2}x)}

令 t=sin⁡xt=\sin x, 即 ∫dtt2(1−t2)=(1−t2)+t2t2(1−t2)=11−t2+1t2\int \frac{\mathrm{d}t}{t^{2}(1-t^{2})}=\frac{(1-t^{2})+t^{2}}{t^{2}(1-t^{2})}=\frac{1}{1-t^{2}}+\frac{1}{t^{2}}

3.2 ∫cos⁡3x−2cos⁡x1+sin⁡2+sin⁡4dx\int \frac{\cos ^{3}x-2\cos x}{1+\sin^2+\sin^4}\mathrm{d}x

原式=∫cos⁡2x−21+sin⁡2x+sin⁡4d(sin⁡x)=−∫1+sin⁡2x1+sin⁡2x+sin⁡4xd(sin⁡x)\begin{aligned}\text{原式}=\int \frac{\cos ^{2}x-2}{1+\sin ^{2}x+\sin^4}\mathrm{d}(\sin x)\\ \\=-\int \frac{1+\sin ^{2}x}{1+\sin ^{2}x+\sin^4x}d(\sin x)\\ \\\end{aligned}

令 t=sin⁡xt=\sin x，原式= −∫1+t21+t2+t4dt-\int \frac{1+t^{2}}{1+t^{2}+t^4}\mathrm{d}t. 这道题，我们可以回顾[[有理函数积分#^b221e3|有理函数特解]]继续解决问题.

3.3 ∫sec⁡3dx\int \sec ^{3}\mathrm{d}x

原式=∫1cos⁡3x=d(sin⁡x)cos⁡4x=d(sin⁡x)(1−sin⁡2x)2\text{原式}=\int \frac{1}{\cos ^{3}x}=\frac{\mathrm{d}(\sin x)}{\cos^4x}=\frac{\mathrm{d}(\sin x)}{(1-\sin ^{2}x)^2}

再次换元得到结果.

方法二：积分重现+分部积分 ^53 e 315

I=sec⁡3dx=sec⁡xd(tan⁡x)=tan⁡xsec⁡x−∫tan⁡xd(sec⁡x)I=\sec^3 \mathrm{d}x=\sec x \mathrm{d}(\tan x)=\tan x \sec x- \int \tan x \mathrm{d}(\sec x)

接着：∫tan⁡xd(sec⁡x)=∫tan⁡2xsec⁡xdx=∫(sec⁡2x−1)sec⁡dx\int \tan x \mathrm{d}(\sec x)=\int \tan ^{2}x \sec x\mathrm{d}x=\int(\sec ^{2}x-1)\sec \mathrm{d}x 我们回到了前面的 I−sec⁡dxI-\sec \mathrm{d}x

3.4 ∫1+x2dx\int \sqrt{ 1+x^{2} }\mathrm{d}x 令 x=tan⁡tx=\tan t, 原式= ∫sec⁡tsec⁡2t=sec⁡3tdt\int \sec t\sec ^{2}t=\sec ^{3}t\mathrm{d}t 有的时候我们没必要把 dxdx 替换.

原式=∫sec⁡td(tan⁡t)=sec⁡ttan⁡t−∫tan⁡tsec⁡ttan⁡tdt\text{原式}=\int \sec t \mathrm{d}(\tan t)=\sec t\tan t-\int \tan t \sec t \tan t \mathrm{d}t

方法二：直接使用分部积分.

法三 ：探索题（待完善）

∫sec⁡x=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x=\ln|\sec x+\tan x|+C 和 ∫sec⁡2x=tan⁡x+C\int \sec ^{2}x=\tan x+C 是基本的积分公式.

In=∫sec⁡ndxI_{n}=\int \sec^n\mathrm{d}x

I4=∫sec⁡2d(tan⁡x)=∫(tan⁡2x−1)d(tan⁡x)I_{4}=\int \sec ^{2}\mathrm{d}(\tan x)=\int(\tan ^{2}x-1)\mathrm{d}(\tan x)

I5=∫sec⁡5dx=∫sec⁡3d(tan⁡x)I_{5}=\int \sec^5\mathrm{d} x=\int \sec ^{3}\mathrm{d}(\tan x)

回到上面的方法：[[#^53e315|分部积分+积分重现]].

法二. 2: 凑 d(cos⁡x)\mathrm{d}(\cos x)

适用范围

R(−sin⁡x,cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x) 的情况，用 d(cos⁡x)\mathrm{d}(\cos x) 替代.

题型

5.1 ∫1sin⁡xcos⁡2xdx\int \frac{1}{\sin x\cos ^{2}x}\mathrm{d}x

提示：原式= −∫d(cos⁡x)sin⁡2xcos⁡2x-\int \frac{\mathrm{d}(\cos x)}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x} 5.2 ∫5+4cos⁡x(2+cos⁡x)2sin⁡xdx\int \frac{5+4\cos x}{(2+\cos x)^{2}\sin x}\mathrm{d}x.

提示：这道题目同样，发现符合上面的情况，我们就要尽量能往 sin⁡x=−d(cos⁡x)\sin x=-\mathrm{d}(\cos x) 去凑. 分子分母同 ×sin⁡x\times \sin x.

=−∫5+4cos⁡x(2+cos⁡x)2(1−cos⁡2x)d(cos⁡x)=-\int \frac{5+4\cos x}{(2+\cos x)^{2}(1-\cos ^{2}x)}\mathrm{d}(\cos x)

令 t=cos⁡xt=\cos x ,原式= −∫(5+4t)(2+t)2(1−t2)-\int\frac{(5+4t)}{(2+t)^{2}(1-t^{2})} 考虑 1. 裂项：

A2+t+B(2+t)2+C1−t+D1+t\frac{A}{2+t}+\frac{B}{(2+t)^{2}}+\frac{C}{1-t}+\frac{D}{1+t}

这个时候我们看看：(2+t)2=t2+4t+4(2+t)^{2}=t^{2}+4t+4, 下面两个部分相加一看正好是 4t+54t+5. 直接裂开即可.（这个时候我们平时就要留意到是否能凑巧）

法二. 3：凑 d(tan⁡x)\mathrm{d}(\tan x)

适用范围

R(−sin⁡x,−cos⁡x)=R(sin⁡x,cos⁡x)R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x) 该式含义：如果 sin⁡x,cos⁡x\sin x,\cos x 全部换为相反数全部都没变，想办法凑成 sec⁡2x=tan⁡xdx\sec ^{2}x=\tan x\mathrm{d}x.

题型

6.1 ∫11+cos⁡2xdx\int \frac{1}{1+\cos ^{2}x}\mathrm{d}x.

原式=∫sec⁡2xsec⁡2x+1=∫d(tan⁡x)tan⁡2x+2\text{原式}=\int \frac{\sec ^{2}x}{\sec ^{2}x +1}=\int \frac{\mathrm{d}(\tan x)}{\tan ^{2}x+2}

6.2 ∫1(3sin⁡x+2cos⁡x)2\int \frac{1}{(3\sin x+2\cos x)^{2}}.

原式=∫sec⁡2x(3tan⁡x+2)2=13∫d(3tan⁡x+2)(3tan⁡x+2)2=−13(3tan⁡x+2)+C\text{原式}=\int \frac{\sec ^{2}x}{(3\tan x+2)^{2}}=\frac{1}{3}\int \frac{\mathrm{d}(3\tan x+2)}{(3\tan x+2)^{2}}=-\frac{1}{3(3\tan x+2)}+C

6.3 ∫1sin⁡4xcos⁡2xdx\int \frac{1}{\sin^4x\cos ^{2}x}\mathrm{d}x.

6.3.1 变为加号呢？

6.3.2 变式：∫sin⁡4xcos⁡2dx\int \sin^4x\cos ^{2}\mathrm{d}x.

这题就要用二倍角公式sin⁡2x=1−cos⁡x2,sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x\sin ^{2}x=\frac{1-\cos x}{2},\sin x\cos x=2\sin 2x，如果使用套路 6.3 就会很麻烦.

先演示一下 6.3 的套路，

I=∫sin⁡4xcos⁡2xsec⁡2xd(tan⁡x)I=\int \frac{\sin^4x\cos ^{2}x}{\sec ^{2}x}\mathrm{d}(\tan x)

转化以后就尽量都变成 tan⁡x\tan x.

I=sin⁡4xcos⁡4d(tan⁡x)=tan⁡4xsec⁡8x=(tan⁡2x)2(1+tan⁡2x)4I=\sin^4x\cos^4\mathrm{d}(\tan x)=\frac{\tan^4x}{\sec^8x}=\frac{(\tan ^{2}x)^{2}}{(1+\tan ^{2}x)^4}

方法二：二倍角降幂

I=(1−cos⁡2x2)(12sin⁡2x)2I=\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right) \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right)^{2}

::: summary 对 ∫sin⁡mxcos⁡nx\int \sin^mx\cos^nx 的总结

  1. nn 为奇数
  2. mm 为奇数
  3. m,nm,n 均为偶数

:::

  1. ∫sin⁡4xcos⁡3x=∫sin⁡4xcos⁡2d(sin⁡x)=∫sin⁡4x(1−sin⁡2)2d(sin⁡x)\int \sin^4x\cos^3x=\int \sin^4x\cos ^{2} \mathrm{d}(\sin x)=\int \sin^4x(1-\sin^2)^{2}\mathrm{d}(\sin x)

::: question

:::

∫1+sin⁡x+cos⁡x1+sin⁡2x\int \frac{1+\sin x+\cos x}{1+\sin ^{2}x}

提示：拆分成三个因式，注意第一个拆分因式：∫11+sin⁡2x=sec⁡2xsec⁡2x+tan⁡2x=d(tan⁡x)1+tan⁡2x+tan⁡2x\int \frac{1}{1+\sin ^{2}x}=\frac{\sec ^{2}x}{\sec ^{2}x+\tan ^{2}x}=\frac{\mathrm{d}(\tan x)}{{1+\tan ^{2}x+\tan ^{2}x}}.

法三：分子转为分母/分母导数线性关系

使用范围

对于形如 ∫Asin⁡x+Bcos⁡xCsin⁡x+Dcos⁡xdx\int \frac{A\sin x+B\cos x}{C\sin x+D\cos x}\mathrm{d}x 的积分，我们可以设为 分子=p×分母+q×分母′\text{分子}=p\times \text{分母} +q\times \text{分母}'.利用系数想等原则，求出 p,qp,q.

7.1 ∫3sin⁡x+4cos⁡x2sin⁡x+cos⁡xdx\int \frac{3\sin x+4\cos x}{2\sin x+\cos x}\mathrm{d}x.

利用上面的做法，设 3sin⁡x+4cos⁡x=p(2sin⁡x+cos⁡x)+q(2cos⁡x−sin⁡x)3\sin x+4\cos x=p(2\sin x+\cos x)+q(2\cos x-\sin x) 即

{2p−q=3p+2q=4  ⟹  {p=2q=1  ⟹  2+(2sin⁡x+cos⁡x)′2sin⁡x+cos⁡x\begin{cases}2p-q=3 \\p+2q=4\end{cases}\implies \begin{cases}p=2 \\q=1\end{cases}\implies 2+\frac{(2\sin x+\cos x)'}{2\sin x+\cos x}

原式= 2x+ln⁡∣2sin⁡x+cos⁡x∣+C2x+\ln|2\sin x+\cos x|+C.

法四：统一角度

当被积函数出现不同角度的时候，利用二倍角统一角度先.

8.1 ∫1sin⁡xsin⁡2xdx\int \frac{1}{\sin x\sin 2x}\mathrm{d}x.

按照统一角度原则：∫12sin⁡2xcos⁡x\int \frac{1}{2\sin ^{2}x\cos x}，发现适用 R(sin⁡x,−cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x), 考虑凑 d(sin⁡x)\mathrm{d}(\sin x).

I=∫d(sin⁡x)2sin⁡2xcos⁡2xI=\int \frac{\mathrm{d}(\sin x)}{2\sin ^{2}x\cos ^{2}x}

8.2 ∫12sin⁡x+sin⁡2xdx\int \frac{1}{2\sin x+\sin 2x}\mathrm{d}x.

8.3 ∫cos⁡2x−sin⁡2xsin⁡x+cos⁡xdx\int \frac{\cos 2x-\sin 2x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x.

解：分子= (cos⁡2x−sin⁡2x)−2sin⁡xcos⁡x(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)-2\sin x\cos x.

裂开：cos⁡x−sin⁡x−2(sin⁡xcos⁡x)sin⁡x+cos⁡x\cos x-\sin x-\frac{2(\sin x\cos x)}{\sin x+\cos x}.

★看右边的式子sin⁡xcos⁡xsin⁡x+cos⁡x\frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}：

分子和分母怎么能够有关系？平方. (sin⁡x+cos⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x

通过这个式子，我们可以得到 2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)2−12\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^{2}-1

同时我们还有 (sin⁡x−cos⁡x)2=1−2sin⁡xcos⁡x(\sin x-\cos x)^{2}=1-2\sin x\cos x 接下来，我们接着解：

I=12((sin⁡x+cos⁡x)2−1)sin⁡x+cos⁡xdxI=\frac{ \frac{1}{2}((\sin x+\cos x)^{2}-1) }{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x

从减号拆开：I=sin⁡x+cos⁡x−1sin⁡x+cos⁡xI=\sin x+\cos x-\frac{1}{\sin x+\cos x}.

1sin⁡x+cos⁡x=12sin⁡(x+π4)\frac{1}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{\sqrt{ 2 }\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)}, 那么 ∫1sin⁡x+cos⁡x=22ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣\int \frac{1}{\sin x+\cos x}=\frac{\sqrt{ 2 }}{2}\ln|\csc x-\cot x|.

法五：积化和差

适用范围

形如: sin⁡axcos⁡bxdx\sin ax\cos bx\mathrm{d}x.

9.1 ∫sin⁡2xsin⁡3xdx\int \sin 2x\sin 3x \mathrm{d}x.

我们回顾一下[[数学笔记#积化和差]].

然后想到 2sin⁡2xsin⁡3x=cos⁡x−cos⁡5x2\sin 2x \sin 3x=\cos x-\cos 5x.

即原式= 12∫cos⁡x−cos⁡5xdx\frac{1}{2}\int \cos x-\cos 5x \mathrm{d}x

9.2 求 ∫cos⁡2xcos⁡3xdx\int \cos 2x \cos 3x \mathrm{d}x.

同理，我们可以使用 2cos⁡2xcos⁡3x=cos⁡x+cos⁡5x2\cos 2x \cos 3x=\cos x+\cos 5x 解决这种问题.

9.3 求 ∫sin⁡2xcos⁡3x\int \sin 2x \cos 3x.

其他题目整理

10.1 ∫sin⁡xcos⁡xsin⁡x−sin⁡xdx\int \frac{\sin x\cos x}{\sin x-\sin x}\mathrm{d}x.

方法同上.

10.2 ∫sin⁡xcos⁡xsin⁡4+cos⁡4xdx\int \frac{\sin x\cos x}{\sin^4+\cos^4x}\mathrm{d}x.

I=∫sin⁡xcos⁡x1−2sin⁡2xcos⁡2xI=\int \frac{\sin x\cos x}{1-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x}

把 cos⁡x\cos x 凑进去为例.

I=∫sin⁡x1−2sin⁡2x(1−sin⁡2x)d(sin⁡x)I=\int \frac{\sin x}{1-2\sin ^{2}x(1-\sin ^{2}x)}\mathrm{d}(\sin x)

令 t=sin⁡xt=\sin x:

I=∫t1−2t2+2t4dtI=\int \frac{t}{1-2t^{2}+2t^4}\mathrm{d}t

又可以使用[[有理函数积分#^b221e3]].

但是，这道题其实我们的目的更好还是降次.

本题还能这么做：

I=14∫sin⁡2x1−12(sin⁡2x)2d(2x)I=\frac{1}{4}\int \frac{\sin 2x}{1-\frac{1}{2}(\sin 2x)^{2}}\mathrm{d}(2x)

我们发现符合[[#法二. 2 凑 $ mathrm{d}( cos x)]]，那么接下来：]]，那么接下来：I=-\frac{1}{4}\int \left( \frac{\mathrm{d}(\cos 2x)}{1-\frac{1}{2}(1-\cos ^{2}2x)} \right)$

::: summary 对被积函数的一点记忆思路 哪个前面没有被凑了负号，然后结果是原函数的相反数，哪边就要作为被积函数 都被凑了符号，且结果为原函数，就要去凑 d(tan⁡x)\mathrm{d}(\tan x)

:::

10.3 1sin⁡6x+cos⁡6xdx\frac{1}{\sin^6x+\cos^6x}\mathrm{d}x

这道题，我们可以想到[[数学笔记#^fa6598]], 解析为：

I=1(sin⁡2x)3+(cos⁡2x)3=1sin⁡4x−2sin⁡2xcos⁡2x+cos⁡4x\begin{aligned}I&=\frac{1}{(\sin ^{2}x)^{3}+(\cos ^{2}x)^{3}}\\&=\frac{1}{\sin ^{4}x-2\sin ^{2}x\cos ^{2}x+\cos^4x}\end{aligned}

接下来方法一：使用[[#法二. 3：凑 $ mathrm{d}( tan x)$]].

I=sec⁡2xtan⁡4x−2tan⁡2x+1=d(tan⁡x)tan⁡4−2tan⁡2x+1I=\frac{\sec ^{2}x}{\tan ^{4}x-2\tan ^{2}x+1}=\frac{\mathrm{d}(\tan x)}{\tan^4-2\tan ^{2}x+1}.

令 t=tan⁡xt=\tan x.

I=∫dtt4−2t2+1=12∫(1+t2)+(1−t2)t4−2t2+1=12∫(1+1t2)t2−2+1t2+∫1−1t2t2−2+1t2=12∫d(t−1t)(t−1t)2+∫d(t+1t)(t+1t)2−4=12(−1t−1t)+14ln⁡∣(t+1t−2)t+1t+2∣+C\begin{aligned}I&=\int\frac{\mathrm{d}t}{t^4-2t^{2}+1}\\&=\frac{1}{2}\int \frac{(1+t^{2})+(1-t^{2})}{t^4-2t^{2}+1}\\&=\frac{1}{2}\int \frac{\left( 1+\frac{1}{t^{2}} \right)}{t^{2}-2+\frac{1}{t^{2}}} + \int \frac{1-\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}-2+\frac{1}{t^{2}}}\\&= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left( t-\frac{1}{t} \right)}{\left( t-\frac{1}{t} \right)^{2}}+\int \frac{\mathrm{d}\left( t+\frac{1}{t} \right)}{\left( t+\frac{1}{t} \right)^{2}-4}\\&=\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{t-\frac{1}{t}} \right)+\frac{1}{4}\ln | \frac{\left( t+\frac{1}{t}-2 \right)}{t+\frac{1}{t}+2} |+C \end{aligned}

方法二：继续降.

I=11−3sin⁡2xcos⁡2xdxI = \frac{1}{1-3\sin ^{2}x\cos ^{2}x}\mathrm{d}x

继续利用二倍角公式：I=11−34sin⁡22x=4⋅14−3sin⁡22xI=\frac{1}{1-\frac{3}{4}\sin ^{2} 2x}=4 · \frac{1}{4-3\sin ^{2}2x} 符合[[#法二. 3：凑 $ mathrm{d}( tan x)$]].

I=4∫sec⁡22x4sec⁡22x−3tan⁡22x=2∫d(tan⁡2x)4(tan⁡22x+1)−3tan⁡22x\begin{aligned}I&=4\int \frac{\sec ^{2}2x}{4\sec ^{2}2x-3\tan ^{2}2x}\\&=2\int \frac{\mathrm{d}(\tan 2x)}{4(\tan ^{2}2x+1)-3\tan ^{2}2x}\end{aligned}

令 t=tan⁡2xt=\tan2x, 则 I=2∫dtt2+4I=2\int \frac{\mathrm{d}t}{t^{2}+4} 运用积分表求解即可.

I=arctan⁡t2=arctan⁡(tan⁡2x2)+CI=\arctan \frac{t}{2}=\arctan\left( \frac{\tan 2x}{2} \right)+C Question:降幂 (sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin ^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}) 是否可行？

10.4 ∫1sin⁡3x+cos⁡3xdx\int \frac{1}{\sin ^{3}x+\cos ^{3}x}\mathrm{d}x.

思路一：立方和公式

I=∫1(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)I=\int \frac{1}{(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)}

这题接下来就需要裂项了，但是不像有理函数的裂项是有通用方法的[[有理函数积分#套路]].

如果能够裂成两项形如 f(x)sin⁡x+cos⁡xg(x)1−sin⁡xcos⁡x\frac{f(x)}{\sin x+\cos x} \frac{g(x)}{1-\sin x\cos x}, 但是很明显难做. 但是我们在重新审视如何把三者联系起来.

(sin⁡x+cos⁡x)2=1+2sin⁡xcos⁡x(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x

这个时候不要把 11 通过代换放在分子，注意：我们需要找到的是 1−sin⁡xcos⁡x1-\sin x\cos x，不然无法完全裂开.

1+2sin⁡xcos⁡x=−2(1−sin⁡xcos⁡x)+31+2\sin x\cos x=-2(1-\sin x\cos x)+3

到这里才完全裂项结束，然后反解 3=(sin⁡x+cos⁡x)2+2(1−sin⁡xcos⁡x)3=(\sin x+\cos x)^{2}+2(1-\sin x\cos x).

回到上个式子：

I=13∫(sin⁡x+cos⁡x)2+2(1−sin⁡xcos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)=13∫sin⁡x+cos⁡x1−sin⁡xcos⁡x+23∫1sin⁡x+cos⁡x\begin{aligned}I &= \frac{1}{3} \int \frac{(\sin x+\cos x)^{2}+2(1-\sin x\cos x)}{(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)}\\&=\frac{1}{3} \int \frac{\sin x+\cos x}{1-\sin x\cos x}+\frac{2}{3}\int \frac{1}{\sin x+\cos x}\end{aligned}

第二个部分积分使用辅助角公式解决[[#^59494e|辅助公式解三角积分]].

第一个部分：

我们看看 sin⁡x+cos⁡xdx=d(sin⁡x−cos⁡x)\sin x+\cos x \mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x-\cos x) 这个时候 sin⁡x−cos⁡x\sin x-\cos x 看作一个整体，然后凑分母：(sin⁡x−cos⁡x)2=1−2sin⁡xcos⁡x(\sin x-\cos x)^{2}=1-2\sin x\cos x.

结合上面的分析化为了：11−(1−(sin⁡x−cos⁡x)22)d(sin⁡x−cos⁡x)\frac{1}{1-\left( 1-\frac{(\sin x-\cos x)^{2}}{2} \right)}\mathrm{d}(\sin x-\cos x). 原式立马化为：∫21+(sin⁡x−cos⁡x)2d(sin⁡x−cos⁡x)\int \frac{2}{1+(\sin x-\cos x)^{2}}\mathrm{d}(\sin x-\cos x) 然后解决问题.

很多人认为这种题同 ×sec⁡nx\times \sec^nx 就能解决问题，探究一下：

I=∫sec⁡3xtan⁡3x+1=∫sec⁡xtan⁡3x+1d(tan⁡x)=∫ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣tan⁡3x+1d(tan⁡x)I=\int \frac{\sec ^{3}x}{\tan ^{3}x+1}=\int \frac{\sec x}{\tan ^{3}x+1}\mathrm{d}(\tan x)=\int \frac{\ln |\sec x+\tan x|}{\tan ^{3}x+1}\mathrm{d}(\tan x)

式子中甚至出现了对数，很难解决.