::: tips 这一块专门记一记我不太清楚的地方 :::

杂项公式

立方和：$x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$ ^fa6598

立方差：$x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

反三角函数公式：$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$

$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$.

常用积分公式

$$\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln \frac{x-a}{x+a}$$

^0e1ac9

$$\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{ {a^{2}+x^{2} }}}=\ln (x+\sqrt{ a^{2}+x^{2} })$$

^e064c7

注意当 $a=1$ 的时候，$\ln (x+\sqrt{ 1+x^{2} })$ 的函数：

①它是奇函数

②导数是 $\frac{1}{\sqrt{ 1+x^{2} }}$

③ $x\to 0$ 时，$\ln (x+\sqrt{ 1+x^{2} }) \sim x$

箭头代表求导

$$\begin{aligned}\ln |\sec x|\implies \tan x\implies \sec ^{2}x\\\ln|\csc x|\implies -\cot x\implies \csc ^{2}x\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\ln|\csc x-\cot x|\implies \csc x\implies-\csc x\cot x\\\ln|\sec x+\tan x|\implies \sec x\implies \sec x\tan x\end{aligned}$$

二倍角公式

$$\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$$

类推常用

$$\cos ^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

$$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$

常用关系

$$\tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x$$

$$1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x$$

$$\csc x=\frac{\sec x}{\tan x}$$

积化和差

尝试推到 $\sin x\sin y$

高中出现这样的有哪些呢？发现这两个公式有

$$\begin{cases}\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y \\\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\end{cases}$$

发现就是 $2\sin x\sin y=\cos(x-y)\cos(x+y)$.

推 $\cos x\cos y$ 同理.

同理：

$$\begin{cases}\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y \\\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\end{cases}$$

$\sin x\cos y=\frac{\sin (x+y)+\sin(x-y)}{2}$.

$\cos x\sin y$ 同理.

介值定理

延申：$pf(a)+qf(b)=(p+q)f(\xi),\xi\in(a,b)$.

常用泰勒展开式

$$\begin{aligned} \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\dots\\ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\dots\\ \tan x=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\dots\\ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots \\ \arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \cdots \\ \arccos x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{40}x^5+\dots\\ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}+\dots \end{aligned}$$

$\sin x\to-\frac{1}{6}x^{3}$ $1-\cos x\to-\frac{x^{4}}{4!}$

$e^{x}-1\to \frac{x^{2}}{2}$ $\arcsin x\to \frac{1}{6}x^{3}$

$\ln (x+1)\to x-\frac{1}{2}x^{2}$

$\arctan x\to-\frac{x^{3}}{3}$ $\tan x\to \frac{x^{3}}{3}$ 【助记】 $e^{x}$ 为 1/2，$\tan x$ 为 1/3，$\sin x$ 为 1/3！$\cos x$ 为 -1/4！

复合函数求导和在某一处的导数的区分

![[Pasted image 20250105230130.png]]

相当于一个是先代数后求导一个是先求导后代数

区分复合函数求导和函数在某处的值（这个值还用其他函数表示）的导数，关键在于理解求导的对象和求导的步骤。

让我们分别详细解释这两个概念：

1. 复合函数求导 (Chain Rule)

• 概念： 当一个函数嵌套在另一个函数内部时，我们称之为复合函数。例如，$h(x) = f(g(x))$，其中 $g(x)$ 是内函数，$f(u)$ 是外函数，其中 $u = g(x)$。
• 目标： 求复合函数 $h(x)$ 对其自变量 $x$ 的导数，即 $\frac{dh}{dx}$ 或 $h'(x)$。
• 方法 (链式法则)： 链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。

$$\frac{dh}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

或者用拉格朗日表示法：

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

• 关键点：
  • 内外函数： 明确哪个是外函数（对谁操作），哪个是内函数（被操作的对象）。
  • 逐层求导： 先对外函数求导（将内函数视为一个整体变量），再对内函数求导。
  • 相乘： 将两部分的导数相乘。

例子： 求 $h(x) = \sin(x^2)$ 的导数。

• 外函数：$f(u) = \sin(u)$，其导数为 $f'(u) = \cos(u)$
• 内函数：$g(x) = x^2$，其导数为 $g'(x) = 2x$
• 应用链式法则：

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$

2. 函数在某处的值的导数（该值用其他函数表示）

• 概念： 我们先求一个函数 $f(u)$ 的导数 $f'(u)$，然后在导数表达式中，将自变量 $u$ 替换为一个具体的数值或一个用另一个函数表示的表达式。

• 目标： 得到一个具体的导数值，或者一个关于 $x$ 的导数表达式，但这个导数是针对 $f$ 函数本身在其某个特定“位置”的性质。

• 方法：

  1. 求导： 先求出函数 $f(u)$ 关于其自变量 $u$ 的导数 $f'(u)$。
  2. 代入： 将 $u$ 替换为指定的值或表达式。如果指定的值是用另一个函数 $g(x)$ 表示，那么就将 $u$ 替换为 $g(x)$。

• 关键点：

  • 独立求导： 先对 $f(u)$ 关于 $u$ 求导，此时不考虑 $u$ 本身是否是另一个函数的输出。
  • 替换： 求导完成后再进行替换。

例子： 已知 $f(u) = u^3$，求 $f'(g(x))$，其中 $g(x) = x^2 + 1$。

1. 求导： 先求 $f(u)$ 的导数：$f'(u) = 3u^2$。
2. 代入： 将 $u$ 替换为 $g(x) = x^2 + 1$：

$$f'(g(x)) = f'(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1)^2$$

核心区别对比

特征	复合函数求导 ($h(x) = f(g(x))$)	函数在某处的值的导数 ($f'(g(x))$)
求导对象	整个复合函数 $h(x)$	外函数 $f(u)$
求导变量	对 $x$ 求导	对 $u$ 求导
步骤顺序	同时考虑内外函数的变化率	先求导再代入
最终结果	一个关于 $x$ 的导数函数 $h'(x)$	一个关于 $x$ 的表达式，表示 $f$ 在 $g(x)$ 处导数值
链式法则应用	必须应用链式法则	不需要直接应用链式法则

如何区分？

1. 看求导符号：

   • $\frac{d}{dx} [f(g(x))]$ 或 $h'(x)$：表示对复合函数求导，需要用链式法则。
   • $f'(g(x))$：表示先求 $f'(u)$，然后将 $u$ 替换为 $g(x)$。

2. 理解问题的提问方式：

   • "求函数 $h(x) = f(g(x))$ 的导数"：明确指示是复合函数求导。
   • "已知函数 $f(u)$ 和 $g(x)$，求 $f'(g(x))$"：表示先对 $f$ 求导，再将 $g(x)$ 代入。

总结

关键在于理解你是在对整个复合结构的变化率感兴趣（复合函数求导），还是仅仅对外函数在其某个特定输入值时的导数感兴趣（函数在某处的值的导数）。 复合函数求导涉及连锁反应，需要同时考虑内外函数的导数；而函数在某处的值的导数是先计算出导数的一般形式，再将特定的值代入。

牢记链式法则的结构和意义，以及导数符号的含义，就能有效地区分和处理这两种情况。