形式：$\int \frac{\text{多项式}}{\text{多项式}}$

方法：裂项 + 待定系数

套路

1. 真分式因式分解 $\frac{1}{x^4-1}$
2. 裂项原则： 里面最大的是一次结果分子就为常数，最大的为二次分子就是 $kx+b$

相关信息

1. $(x-a)^k=\frac{A_{1}}{x-a}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{2}}+\dots+\frac{A_{k}}{(x-a)^k}$
2. $(x^{2}+px+q)^k=\frac{A_{1}x+B}{x^{2}+px+q}+\dots+\frac{A_{k}x+B_{k}}{(x^{2}+px+q)^k}$ (注意：此时因为因式分解了，我们应该知道 $p^{2}-4q<0$)

![[Pasted image 20241207164646.png]]

3. 待定系数
4. 一系列基本分式处理 $\frac{A}{(x-a)^k}=\frac{A}{-k+1}(x-a)^{-k+1}$

处理 $\int \frac{Bx+C}{x^{2}+px+q}$，提示：$\int \frac{f'}{f}dx=\ln |f(x)|+C$

例 1：$\int \frac{x^{2}}{(a^{2}+x^{2})^{2}}dx$

#method 三角换元

出现 $a^{2}+x^{2}$ 要考虑使用三角换元 (不一定要带有根号才换)

提示：$\tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x$ 所以令 $x=a\tan u$$a^{2}+x^{2}=(a\sec u)^{2}$ 同时发现 $dx=a\sec ^{2}u du$ 可以约分了。 剩下补全。

#method 分母次数高，分部积分降低次数

$$\int \frac{x·x}{(a^{2}+x^{2})^{2}}dx=\frac{1}{2}\int x\left( \frac{d(x^{2}+a^{2})}{(a^{2}+x^{2})^{2}} \right)$$

我们令 $t=x^{2}+a^{2}$, 发现 $\frac{dt}{t^{2}}=-d(\frac{1}{t})$, 这个时候就会发现我们已经降次成功了。

$$\text{原式}=-\frac{1}{2}\int x d\left( \frac{1}{a^{2}+x^{2}} \right)$$

接下来：$-\frac{1}{2}\left( \frac{x}{a^{2}+x^{2}}-\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx \right)$ 发现了基本积分公式.

1.1 $\int \frac{1}{(a^{2}+x^{2})^{2}}\mathrm{d}x$ 化归思想

思路：

1. 系数项随便搞，变为 $\frac{1}{a^{2}}\int \frac{a^{2}}{(a^{2}+x^{2})^{2}}$
2. 我们通过凑项，大概了解到 $a^{2}=a^{2}+x^{2}-x^{2}$
3. 分开即可

::: summary 诸如 $\int \frac{Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{2}}$ 计算方法的套路： 改造分子拆成两个积分 分母配方，换元 归一为 $\int \frac{1}{a^{2}+t^{2}}\mathrm{d}t$ 的形式

::: 1.2 计算 $\int \frac{x+2}{(x^{2}+2x+10)^{2}}\mathrm{d}x$

有理函数积分的特殊解法

例 2.1：$\int \frac{1}{1-x^4}$. 解析： ^4aa1c3

$$I = \frac{1}{(1-x^{2})(1+x^{2})}$$

体会到他们似乎是共轭的：$1-x^{2}+1+x^{2}=2$, 由此启发：

$$I = \frac{1}{2}\int \frac{(1-x^{2})+(1+x^{2})}{(1-x^{2})(1+x^{2})}$$

我们发现可以直接裂项：

$$I=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1-x^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}$$

那么,

$$\text{原式}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\ln \frac{1-x}{1+x}+\arctan x \right)$$

::: notice 盯着分母改造分子，根据分母调整

::: 2.2 $\int \frac{1}{x^8(1+x^{2})}\mathrm{d}x$ 法一：$1=(1+x^{2})-x^{2}$

原式= $\int \frac{1}{x^8}-\frac{1}{x^6(1+x^{2})}$

对后面的部分积分，接着用 $\frac{(1+x^{2})-x^{2}}{x^6(1+x^{2})}=\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^4(1+x^{2})}$

我们发现分母的次数在裂项下面一直减小... 不断积分

法二：倒代换 （分母过大的时候用，至少说要高三次，目的是让分子的次数高于分母） 令 $t=\frac{1}{x}$..

2.3 $\int \frac{1+x^{4}}{1+x^6}\mathrm{d}x$

使用[[数学笔记#^fa6598|立方和]]: 分母先因式分解 $(1+x^{2})(x^4-x^{2}+1)$

如果由待定系数法会发现很复杂。

$$\frac{(1+x^4-x^{2})+x^{2}}{(1+x^{2})(x^4-x^{2}+1)}$$

2.4 $\int \frac{1}{x(x^{3}+27)}$

提示：分子分母同 $\times x^{2}$，凑出 $\mathrm{d}x^{3}$.

2.5 ★★★ $\int \frac{1+x^{2}}{1+x^4}$

不推荐：强行裂项法：

$$(1+x^4)=(1+x^{2})^{2}-(\sqrt{ 2 }x)^{2}=(x^{2}+\sqrt{ 2 }x+1)(x^{2}-\sqrt{ 2 }x+1)$$

所以可以裂项写为

$$\frac{Ax+B}{x^{2}+\sqrt{ 2 }x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}-\sqrt{ 2 }x+1}$$

最佳解法： ^b221e3

$$\begin{aligned}\int \frac{\left( 1+\frac{1}{x^{2}} \right)}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\mathrm{d}x\\=\int \frac{\mathrm{d}\left( x-\frac{1}{x} \right)}{\left( x-\frac{1}{x} \right)^{2}+2}\\=\frac{1}{\sqrt{ 2 }}\arctan \frac{\left( x-\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{ 2 }}+C\end{aligned}$$

::: notice

注意：两边同时 $\times \frac{1}{x^{2}}$，出现了 $x=0$ 未定义的情况，要根据 $F'(x)=f(x)$ 原函数连续的问题，最好写出分段函数的形式.

::: 类题：$\int \frac{1-x^{2}}{1+x^4}$

::: question 得到了上面两道题，可以做: $\int \frac{1}{1+x^4}$

:::

提示：$\text{原式}=\int\left( \frac{1}{2}(1+x^{2})+(1-x^{2}) \right)$

同时，如果出现 $\int \frac{1}{1+kx^{2}+x^4}$ 也是用同样的方法, 详见类题 2 中，我们同除 $x^{2}$ 的时候，$k$ 会融合到常数中，然后算出结果

联想到题目：$\int \frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x$

分母处理一下和分子出现关系 $(\sin x+\cos x)^{2}=1+2\sin x\cos x$

类题 2

$$\int \frac{1}{x^6+1}\mathrm{d}x$$

如果还是用 $I=\int \frac{1}{(x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)}\mathrm{d}x$.

按照上面拆分：

（在第二行式子中我们没有写为展开的形式，因为我们发现，$x^{2}=\frac{1}{3}\mathrm{d}(x^{3})$, 干脆直接写为 $x^6+1$ 的形式）

$$\begin{aligned}I=\int \frac{(x^{2}+1)-x^{2}}{(x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)}\mathrm{d}x\\ \\=\int \frac{1}{x^{4}-x^{2}+1}-\int \frac{x^{2}}{x^6+1}\\ \\=\int ?-\frac{1}{3}\int \frac{\mathrm{d}(x^{3})}{(x^{3})^{2}+1}\\ \\= \dots\dots\dots\dots\dots \end{aligned}$$

下面是解左边的分式积分：

$$\begin{aligned}\int \frac{1}{x^4-x^{2}+1}\\=\frac{1}{2}\int \frac{(1+x^{2})+(1-x^{2})}{x^4-x^{2}+1}\\=\frac{1}{2}\int \frac{1+x^{2}}{x^4-x^{2}+1}+\int \frac{1-x^{2}}{x^4-x^{2}+1}\\=\frac{1}{2} \int \frac{\left( 1+\frac{1}{x^{2}} \right)}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-1}+\int \frac{\frac{1}{x^{2}}-1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-1}\\=\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left( x+\frac{1}{x} \right)}{\left( x+\frac{1}{x} \right)^{2}-3}\end{aligned}$$

::: question

1. $\int \frac{e^{3x}+e^x}{e^{4x}-e^{2x}+1}\mathrm{d}x$
2. $\int \frac{1}{\sqrt{ \tan x }}\mathrm{d}x$
3. $\sqrt{ \tan x }\mathrm{d}x$

:::