虽然线性SVM已经能够解决很多问题了，但是在有一些情况会产生无法划分的问题 这个时候你找不到一个直线能够将两类数据完全分开，这时候就需要用到核函数了。

比如上面的情况，我们可以通过升维映射的方式。

定义一个简单的映射函数：

$$\Phi(x,y)=(x,y,xy)$$

这时候几个样本点A1(1,0,0) A2(0,1,0) B1(1,1,1) B2(0,0,0)

现在再去找一组参数$w,b$满足

$$\begin{cases} f(A_1)=-1 \\ f(A_2)=-1 \\ f(B_1)=1 \\ f(B_2)=1 \end{cases}$$

$f(x)=xw+b$. 比如，在这里$w=\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$，$b=1$.

这个时候问题转化为：

$$\max \sum_{i=1}^n \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(x_i, x_j) \\ s.t. \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i = 0, \alpha_i \geq 0, i=1,2,...,n$$

在低维度（嵌套样本或异或问题）在高维能够找到秩序。