重要公式

1. 加法公式

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

同理，$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

2. 减法公式

$P(A - B)=P(A \overline{B})=P(A)-P(A \cap B)$

3. 对立事件

$P(\overline{A})=1-P(A)$

4. 分配律（先和后积可以转化为先积后和）

$P(A \cup (B \cap C))=P((A \cup B) \cap (A \cup C))$

$P(AB\cup C)=P((A\cup C)(B\cup C))$

为什么？

因为有相同事件吸收掉了。 通俗理解：$P(A \cup (B \cap C))$表示事件$A$发生的同时，事件$B$和$C$也发生的概率，而$P((A \cup B) \cap (A \cup C))$则表示事件$A$发生的同时，事件$B$和$C$至少有一个发生的概率。

同时为了方便理解推导，可以把$\cup$看作加法，把$\cap$看作乘法，这样就可以用小学的分配律来理解这个公式。

例如：$P(AB+C)=P((A+C)(B+C))$，把$P$去掉，就是$(AB)+C=(A+C)(B+C)$

然后拆分，AB+AC+BC+C^2,$C^2=C$,同时$AC,BC$可以合并为$C$，最终得到$AB+C$。

5. 对偶律

$P(\overline{A\cup B})=P(\overline{A})\cap P(\overline{B})$

$P(\overline{A\cap B})=P(\overline{A})\cup P(\overline{B})$

口诀：长杠变短杠，开口换方向.

6. 条件概率公式

$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

7. 乘法公式

$P(A \cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$

注意乘号和并集等价，可以省略

8. 独立性 注意：概率为1不一定是必然事件的，同样的，概率为0不一定是不可发生事件的。 概率推不出事件！！

而概率推独立是例外： A,B独立 $\Leftrightarrow P(A \cap B)=P(A)P(B)$

[1] 如果A,B独立，那$\overline{A}$和B也独立，A和$\overline{B}$也独立，$\overline{A}$和$\overline{B}$也独立。

[2] 如果$A_1,A_2,...,A_n,B_1,B_2,...,B_m$两组事件分别独立，那么任意从第一组中取一个事件，与任意从第二组中取一个事件，都是独立的。

[3] 如果ABC为三个事件，则 相互独立可以推出两两独立，但两两独立不一定相互独立，换言之，相互独立比两两独立条件更强.

两两独立 + $P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B)P(C)$ $\Leftrightarrow$ 相互独立

举例： A:掷骰子出现偶数 B:掷骰子出现大于2的数 C:掷骰子出现小于5的数 A,B独立，A,C独立，B,C独立，但ABC不独立，因为$P(A \cap B \cap C)=P(\{4\})=\frac{1}{6} \ne P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$

9. 全概率公式： 设$B_1,B_2,...,B_n$为样本空间S的一个划分，则对于任一事件A，有：

$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$

相当于是一个分类讨论~

10. 贝叶斯公式（由果溯因）

比如你已经迟到了，已经知道了迟到了，推算你到底是因为什么导致的迟到.

$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}$

结合条件概率和全概率公式：

$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)} ,(i=1,2,...,n)$

11. 伯努利概型：在每一次试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p，进行n次独立重复试验，则事件A恰好发生k次的概率为：

$$P(X=k)=C(n,k)p^kq^{n-k}$$

例1. 设$A,B$独立，$A,C$互斥，$BC=\phi$，$P(A)=P(B)=1/2$，$P(AC|AB\cup C)=1/4$，则$P(C)=\underline{\qquad}$。

首先是分配律，$P(ABC\cup AC),\text{分母}=P(AB\cup C)$，再看分子吸收$P(AC)$ 分母：$P(AB)+P(C)-P(ABC)$.

然后$P(ABC)=0$(BC为空集)，所以分母$=P(AB)+P(C)$

代入得到答案： $\frac{1}{4}$